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+0 ?IMO2011趣题:总存在一条将会遍历所有点的直线

Tag: 趣题 | Brain Storm | 几何 | 证明
Matrix67 发于 2011年07月29日 09:07 | 亚博安卓app: 2038 | 展开摘要
????下面这个精彩的问题来自于刚刚结束的 IMO 2011 中的第 2 题:

????设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过 S 中单独一点 P 的一条直线 l 开始,以 P 为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到 S 中的另一点,记为点 Q 。接着这条直线以 Q 为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到 S 中的某一点,这

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+0 ?千万不要迷信规律:大反例合集

Tag: Brain Storm | 数论 | 惊奇数学事实 | 数列
Matrix67 发于 2011年07月13日 13:39 | 亚博安卓app: 2103 | 展开摘要
????数学猜想并不总是对的,错误的数学猜想不占少数。关键在于,有时反例太大,找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子,里面提到的规律看上去非常诱人,要试到相当大的数时才会出现第一个反例。

千万不要迷信规律

????圆上有 n 个点,两两之间连线后,最多可以把整个圆分成多少块?

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+6 ?趣题:不用相似怎么办?

Tag: 趣题 | Brain Storm | 几何
Matrix67 发于 2011年07月09日 13:42 | 亚博安卓app: 3137 | 展开摘要
????我老早就写过一个经典的小学几何题。如果你还没看过这个问题,你一定要去看看。一个小学奥数老师曾经告诉我,当年带领学生参加这次竞赛时,领队老师们都没有想到这个问题的“小学生解法”,以至于开始质疑这道题是否超纲了。看到答案后,老师们大为折服——这个问题确实有一个无需任何几何知识的妙解。

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????今天,同样的事情发生了。

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+0 ?盯着结论看,直到它变得显然成立为止

Tag: 空间 | Brain Storm | 几何 | 证明
Matrix67 发于 2011年07月04日 13:03 | 亚博安卓app: 1996 | 展开摘要
????很多看上去很显然的结论,其实是需要严格证明的,并且有时候证明相当困难。比方说算术基本定理,每一个数分解质因数的方法都是唯一的。这看上去几乎是显然的,但证明过程需要很多深刻的数论知识。更极端的例子则是 Jordan 曲线定理,即平面上每一条不与自身相交的封闭曲线都把平面分成了里外两部分。这几乎就是一句废话,但要想严格证明起来相当不容易, Camille Jordan 本人的证明最后发现竟然也是错误的。

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+0 ?今天才知道,空壳星球的内部是没有重力的

Tag: Brain Storm | 惊奇数学事实 | 几何 | 微积分 | 物理
Matrix67 发于 2011年07月02日 02:14 | 亚博安卓app: 2080 | 展开摘要
????曾经想过要写一篇科幻小说,讲一种生活在空壳星球内表面的文明,如何发现自己的星球是圆的,如何成功地环游世界一周,又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气,幸好当初没写这样的文章,不然就闹笑话了。今天我才知道,空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的,因为空壳星球内的任意一点都没有重力。

????这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近,产生的重力作用更显着,但可惜这部分土地

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+0 ?趣题:连接多个数字串时怎样避免歧义?

Tag: 趣题 | 算法 | Brain Storm | 协议
Matrix67 发于 2011年06月27日 02:02 | 亚博安卓app: 1944 | 展开摘要
????今天碰上一个非常有意思的问题。有一条通信线路,每次可以发送一个由数字 0 到 9 组成的任意长的数字串。怎样巧妙地利用这条通信线路,构造一种一次能够发送两个数字串的协议?注意到,直接将两个数字串相连是不行的,因为这将会产生歧义。如果对方收到的数字串是 1234 ,他没法知道你发送的是数字串 12 和 34 ,还是数字串 123 和 4 ,抑或是 1 和 234。

????能否把第一个串的

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+0 ?经典证明:Cantor集中的元素两两相加可以遍历[0,2]

Tag: Brain Storm | 惊奇数学事实 | 无穷 | 分形 | 证明
Matrix67 发于 2011年06月24日 12:13 | 亚博安卓app: 1963 | 展开摘要
????今天看到一个有趣的证明,来源在这里。

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????Cantor 集是一个简单而又神奇的分形图形。把 [0, 1] 三等分,挖去中间那一段(即挖去 (1/3, 2/3) ),然后把剩下两段也都分别进行三等分,并挖去各自中间的一段。这样无限地进行下去,最后得到的极限点集就是 Cantor 集了(上面那张图不是分割线,是

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+0 ?几个令人惊叹的函数图像

Tag: Brain Storm | 函数 | 软件介绍 | 图片 | 图形
Matrix67 发于 2011年06月21日 23:52 | 亚博安卓app: 2360 | 展开摘要
????国外有人发现一个鲜为人知的古董级函数作图软件—— GrafEq 。这个软件只有 2M 大小,它的功能就只有一个:作出形如 x2 + y2 = 1 的二元等式或者不等式的图像。令人惊叹的是,这个软件的图像绘制能力异常强大, Mathematica 等大型专业数学软件完全不是它的对手。

????这个软件早就没再更新了。它的“最新版本”是 2.12 ,只支持 Windows 95 到 Wind

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-5 ?锈规作图续篇:单用一个只能画单位圆的圆规如何作线段中点

Tag: 趣题 | Brain Storm | 惊奇数学事实 | 几何 | 证明 | 图形
Matrix67 发于 2011年06月16日 22:12 | 亚博安卓app: 2422 | 展开摘要
????在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里,我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题,这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的:给定 A 、 B 两点,只用一个生锈的圆规(没有直尺),如何找出一个点 C ,使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形?所谓“生锈的圆规”,也就是一个被卡住的圆规,它的两脚张角不能改变。我们不妨假设,它只能画出单位大小的圆。1987 年,我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题,并借

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-1 ?趣题:公司应该雇用多少员工?

Tag: 趣题 | Brain Storm | 概率 | 函数 | 证明 | 随机
Matrix67 发于 2011年06月13日 22:16 | 亚博安卓app: 2054 | 展开摘要
????某大公司有这么一个规定:只要有一个员工过生日,当天所有员工全部放假一天。但在其余时候,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工,才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大?

????假设一年有 365 天,每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。

????你的第一感觉或许是,公司应该雇用 100 多人,或者 200

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+1 ?巧解定积分:用定积分来求解定积分

Tag: 趣题 | Brain Storm | 微积分
Matrix67 发于 2011年06月11日 14:10 | 亚博安卓app: 1839 | 展开摘要
????今天在这里学到一种很诡异的定积分方法。看看下面这个定积分,你打算怎么求解?

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????当然,我们假设 a 、 b 满足这个定积分的值确实存在。

????下面是一个很妙的做法:

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+0 ?视频:Steiner问题的肥皂膜解法

Tag: Brain Storm | 图论 | 视频 | 物理
Matrix67 发于 2011年06月10日 13:33 | 亚博安卓app: 3134 | 展开摘要
????给定 n 个村庄的位置,要想把他们全部连通,最少需要修建多长的公路?这个问题被称为 Steiner 问题,是由数学家 Jakob Steiner 提出来的。注意,和最小生成树不同的是,公路是可以在中间汇合、分岔的。目前已经知道,Steiner 问题是 NP-hard 的,在规模很大的情况下,不能有效地得出最优解来。

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